物理實驗離不開對物理量的測量，測量有直接的，也有間接的。由于儀器、實驗條件、環境等因素的限制，測量不可能無限，物理量的測量值與客觀存在的真實值之間總會存在著一定的差異，這種差異就是測量誤差。
 

　　設被測量的真值（真正的大小）為a，測得值為x，誤差為ε，則
 

　　x－a=ε
 

　　誤差與錯誤不同，錯誤是應該而且可以避免的，而誤差是不可能避免的。從實驗的原理，實驗所用的儀器及儀器的調整，到對物理量的每次測量，都不可避免地存在誤差，并貫穿于整個實驗始終。
 

　　測量值與真值之差異稱為誤差。
 

　　由于各種因素會造成少許的誤差，這些因素必須去了解，并有效的解決，方可使整個測量過程中誤差減至zui少。測量時，造成誤差的主要有系統誤差和隨機誤差，而系統誤差有下列情況：誤讀、誤算、視差、刻度誤差、磨耗誤差、接觸力誤差、撓曲誤差、余弦誤差、阿貝 （Abbe） 誤差、熱變形誤差等。系統誤差的大小在測量過程中是不變的，可以用計算或實驗方法求得，即是可以預測，并且可以修正或調整使其減少。這些因素歸納成五大類，詳細內容敘述如下：
 

　　1. 人為因素
 

　　由于人為因素所造成的誤差，包括誤讀、誤算和視差等。而誤讀常發生在游標尺、分厘卡等量具。游標尺刻度易造成誤讀一個zui小讀數，如在10.00 mm處常誤讀成10.02 mm或9.98 mm。分厘卡刻度易造成誤讀一個螺距的大小，如在10.20 mm常誤讀成10.70 mm或9.70 mm。誤算常在計算錯誤或輸入錯誤數據時所發生。視差常在讀取測量值的方向不同或刻度面不在同一平面時所發生，兩刻度面相差約在0.3~0.4 mm之間，若讀取尺寸在非垂直于刻度面時，即會產生 的誤差量。為了消除此誤差，制造量具的廠商將游尺的刻劃設計成與本尺的刻劃等高或接近等高，（游尺刻劃有圓弧形形成與本尺刻劃幾近等高，游尺為凹V形且本尺為凸V形，因此形成兩刻劃等高。
 

　　2. 量具因素
　由于量具因素所造成的誤差，包括刻度誤差、磨耗誤差及使用前未經校正等因素。刻度分劃是否準確，必須經由較精密的儀器來校正與追溯。量具使用一段時間后會產生相當程度磨耗，因此必須經校正或送修方能再使用。
 

　　3. 力量因素
 

　　由于測量時所使用接觸力或接觸所造成撓曲的誤差。依據虎克定律，測量尺寸時，如果以一定測量力使測軸與機件接觸，則測軸與機件皆會局部或全面產生彈性變形，為防止此種彈性變形，測軸與機件應采相同材料制成。其次，依據赫茲 （Hertz） 定律，若測軸與機件均采用鋼時，其彈性變形所引起的誤差量
 

　　應用量表測量工件時，量表固定于支持上，支架因被測量力會造成彈性變形，如圖2-4-3所示，在長度 的斷面二次矩為 ，長 的支柱為 ，縱彈性系數分別為 、 ，因此測量力為P時，撓曲量 為 。為了防止此種誤差，可將支柱增大并盡量縮短測量軸線伸出的長度。除此之外，較大型量具如分厘卡、游標尺、直規和長量塊等，因本身重量與負載所造成的彎曲。通常，端點標準器在兩端面與垂直線平行的支點位置為0.577全長時，其兩端面可保持平行，此支點稱之為愛里點 （Airey Points） 。線刻度標準器支點在其全長之0.5594位置，其全長彎曲誤差量為zui小，此處稱之為貝塞爾點 （Bessel Points）
 

　　4. 測量因素
 

　　測量時，因儀器設計或擺置不良等所造成的誤差，包括余弦誤差、阿貝誤差等。余弦誤差是發生在測量軸與待測表面成一定傾斜角度 ，如圖2-4-5所示其誤差量為 ， 為實際測量長度。通常，余弦誤差會發生在兩個測量方向，必須特別小心。例如測量內孔時，徑向測量尺寸需取zui大尺寸，軸向測量需取zui小尺寸。同理，測量外側時，也需注意取其正確位置。測砧與待測工件表面必須小心選用，如待測工件表面為平面時需選用球狀之測砧、工件為圓柱或圓球形時應選平面之測砧。阿貝原理 （Abbe’ Law） 為測量儀器的軸線與待測工件之軸線需在一直在線。否則即產生誤差，此誤差稱為阿貝誤差。通常，假如測量儀器之軸線與待測工件之軸線無法在一起時，則需盡量縮短其距離，以減少其誤差值。若以游標尺測量工件為例，如圖2-4-6所示，其誤差為 ，因此欲減少游標尺測量誤差，需將本尺與游尺之間隙所造成之 角減小及測量時應盡量靠近刻度線。若以量表測量工件為例，如圖2-4-7所示其量表之探針為球形，工件為圓柱，兩軸心有偏位量 時，其接觸的誤差量為 。若量表之探針和工件均為平面時，若兩平面傾斜一定角度 時，其接觸的誤差量為 如圖2-4-8所示，此誤差稱為正弦誤差。圖2-4-9所示為凸輪在機構設計的誤差分析圖，為了減少磨損，常將從動件的端頭設計成半徑為 的圓球或圓柱體，兩者間的壓力角為 ，因此引起誤差為 。
 

　　5. 環境因素
 

　　測量時受環境或場地之不同，可能造成的誤差有熱變形誤差和隨機誤差為zui顯著。熱變形誤差通常發生于因室溫、人體接觸及加工后工件溫度等情形下，因此必須在溫濕度控制下，不可用手接觸工件及量具、工件加工后待冷卻后才測量。但為了縮短加工時在加工中需實時測量，因此必須考慮各種材料之熱脹系數 作為補償，以因應溫度材料的熱膨脹系數 不同所造成的誤差。常用各種材料的熱膨脹系數如表2-4-2所示。通常，必須應用下列公式修正：CMR: 工件在 20℃時的長度
 

　　一、誤差的產生
 

　　根據誤差產生的原因及性質可分為系統誤差與偶然誤差兩類。
 

　　1．系統誤差

 

　　由于儀器結構上不夠完善或儀器未經很好校準等原因會產生誤差。例如，各種刻度尺的熱脹冷縮，溫度計、表盤的刻度不準確等都會造成誤差。
 

　　由于實驗本身所依據的理論、公式的近似性，或者對實驗條件、測量方法的考慮不周也會造成誤差。例如，熱學實驗中常常沒有考慮散熱的影響，用伏安法測電阻時沒有考慮電表內阻的影響等。
 

　　由于測量者的生理特點，例如反應速度，分辨能力，甚至固有習慣等也會在測量中造成誤差。
 

　　以上都是造成系統誤差的原因。系統誤差的特點是測量結果向一個方向偏離，其數值按一定規律變化。我們應根據具體的實驗條件，系統誤差的特點，找出產生系統誤差的主要原因，采取適當措施降低它的影響。
 

　　2．偶然誤差

 

　　在相同條件下，對同一物理量進行多次測量，由于各種偶然因素，會出現測量值時而偏大，時而偏小的誤差現象，這種類型的誤差叫做偶然誤差。
 

　　產生偶然誤差的原因很多，例如讀數時，視線的位置不正確，測量點的位置不準確，實驗儀器由于環境溫度、濕度、電源電壓不穩定、振動等因素的影響而產生微小變化，等等，這些因素的影響一般是微小的，而且難以確定某個因素產生的具體影響的大小，因此偶然誤差難以找出原因加以排除。
 

　　但是實驗表明，大量次數的測量所得到的一系列數據的偶然誤差都服從一定的統計規律，這些規律有：
 

　　（1）值相等的正的與負的誤差出現機會相同；
 

　　（2）值小的誤差比值大的誤差出現的機會多；
 

　　（2）誤差不會超出一定的范圍。
 

　　實驗結果還表明，在確定的測量條件下，對同一物理量進行多次測量，并且用它的算術平均值作為該物理量的測量結果，能夠比較好地減少偶然誤差。
 

　　二、誤差的表示
 

　　1．誤差
 

　　設某物理量的測量值為x,它的真值為a,則x－a=ε；由此式所表示的誤差ε和測量值x具有相同的單位，它反映測量值偏離真值的大小，所以稱為誤差。
 

　　有了誤差以后．通常把測量結果表示成 的形式，為多次測量的平均值。
 

　　2．相對誤差
 

　　誤差還有一種表示方法，叫相對誤差，它是誤差與測量值或多次測量的平均值的比值，即或，并且通常將其結果表演示成非分數的形式，所以也叫百分誤差。
 

　　誤差可以表示一個測量結果的可靠程度，而相對誤差則可以比較不同測量結果的可靠性。例如，測量兩條線段的長度，*條線段用zui小刻度為毫米的刻度尺測量時讀數為10．3毫米，誤差為0．1毫米（值讀得比較準確時），相對誤差為0.97%，而用準確度為0．02毫米的游標卡尺測得的結果為10．28毫米，誤差為0．02毫米，相對誤差為0．19%；第二條線用上述測量工具分別測出的結果為19．6毫米和19．64毫米，前者的誤差仍為0．1毫米，相對誤差為0．51%，后者的誤差為0．02毫米，相對誤差為0．1%。比較這兩條線的測量結果，可以看到，用相同的測量工具測量時，誤差沒有變化，用不同的測量工具測量時，誤差明顯不同，準確度高的工具所得到的誤差小。然而相對誤差則不僅與所用測量工具有關，而且也與被測量的大小有關，當用同一種工具測量時，被測量的數值越大，測量結果的相對誤差就越小。
 

　　3.引用誤差：儀表某一刻度點讀數的誤差Δ比上儀表量程上限Am ，并用百分數表示。
 

　　zui大引用誤差：儀表在整個量程范圍內的zui大示值的誤差Δm比儀表量程上限Am ，并用百分數表示。
 

　　4.標稱誤差
 

　　標稱誤差=（zui大的誤差）/量程 x 100%
 

　　—測量儀器的〔示值〕誤差
 

　　1.測量儀器的示值誤差
 

　　是指“測量儀器示值與對應輸入量的真值之差”（7.20條）。這是測量儀器的zui主要的計量特性之一，其實質就是反映了測量儀器準確度的大小。示值誤差大則其準確度低，示值誤差小，則其準確度高。
 

　　示值誤差是對真值而言的。由于真值是不能確定的，實際上使用的是約定真值或實際值。為確定測量儀器的示值誤差，當其接受高等級的測量標準器檢定或校準時，則標準器復現的量值即為約定真值，通常稱為實際值，即滿足規定準確度的用來代替真值使用的量值。所以指示式測量儀器的示值誤差=示值-實際值；實物量具的示值誤差=標稱值-實際值。例如:被檢電流表的示值I為40A，用標準電流表檢定，其電流實際值為Io=41A，則示值40A的誤差Δ為
 

　　Δ=I-Io=40-41=-1A
 

　　則該電流表的示值比其真值小1A。如一工作玻璃量器的容量其標稱值V為1000ml，經標準玻璃量器檢定，其容量實際值Vo為1005ml，則量器的示值誤差Δ為:
 

　　Δ=V-Vo=1000-1005=-5ml
 

　　即該工作量器的標稱值比其真值小5ml。
 

　　要正確區別誤差、偏差和修正值的概念。偏差是指“一個值減去其參考值”（5.17條），對于實物量具而言，偏差就是實物量具的實際值對于標稱值偏離的程度，即偏差=實際值-標稱值。例如有一塊量塊，其標稱值為10mm，經檢定其實際值為10.1mm，則該量塊的偏差為10.1-10=+0.1mm，說明此量塊相對10mm標準尺寸大了0.1mm；則此量塊的誤差為示值（標稱值）-實際值，即誤差=10-10.1=-0.1mm，說明此量塊比真值小了0.1mm，故此在使用時應加上0.1mm修正值。修正值是指為清除或減少系統誤差，用代數法加到未修正測量結果上的值。從上可見這三個概念其量值的關系:誤差=-偏差；誤差=-修正值；修正值=偏差。在日常計算和使用時要注意誤差和偏差的區別，不要相混淆。
 

　　測量儀器的示值誤差可簡稱為測量儀器的誤差，按照不同的示值、性質或條件，測量儀器的誤差又具有專門的術語。如基值誤差、零值誤差、固有誤差、偏移等。
 

　　2.〔測量儀器的〕基值誤差
 

　　它是指“為核查儀器而選用在規定的示值或規定的被測量值處的測量儀器誤差”（7.22條）。為了檢定或校準測量儀器，人們通常選取某些規定的示值或規定的被測量值，則在該值上測量儀器的誤差稱為基值誤差。
 

　　例如:選用規定的示值，如對普通準確度等級的衡器，載荷點50e和200e是必檢的（e是衡器的檢定分度值），它們在檢定時基值誤差分別不得超過±0.5e和±1.0e。如對于中準確度等級的衡器，載荷點500e和2000e是必須檢的，它們在時的基值誤差分別不得超過±0.5e和±1.0e。規定被測量值，如對于標準熱電偶的檢定或分度，通常選用鋅、銻及銅三個溫度固定點進行示值檢定或分度，則在此三個值上標準熱電偶的誤差，即為基值誤差。測量儀器的基值誤差可簡稱為基值誤差。
 

　　3.〔測量儀器的〕零值誤差
 

　　它是指“被測量為零值的基值誤差”（7.23條）。是指被測量為零值時，測量儀器示值相對于標尺零刻線之差值。也可說是測量儀器零位，即當被測量值為零時，測量儀器的直接示值與標尺零刻線之差。通常在測量儀器通電情況下，稱為電氣零位，在不通電的情況下稱為機械零位。零位在測量儀器檢定或校準或使用時十分重要，因為它無需用標準器就能準確地確定其零位值，如各種指示儀表和千分尺、度盤秤等都具有零位調節器，可以作為檢定或校準或用作使用者調整，以便確保測量儀器的準確度。
 

　　通常測量儀器零值誤差均作為基值誤差對待，因為零值對考核測量儀器的穩定性、準確度作用十分重要。測量儀器的零值誤差可簡稱為零值誤差。
 

　　4.〔測量儀器的〕固有誤差
 

　　它是指“在參考條件下確定的測量儀器的誤差”（7.24條）。固有誤差通常也可稱為基本誤差，它是指測量儀器在參考條件下所確定的測量儀器本身所具有的誤差。主要來源于測量儀器自身的缺陷，如儀器的結構、原理、使用、安裝、測量方法及其測量標準傳遞等造成的誤差。固有誤差的大小直接反映了該測量儀器的準確度。一般固有誤差都是對示值誤差而言，因此固有誤差是測量儀器劃分準確度的重要依據。測量儀器的zui大允許誤差就是測量儀器在參考條件下，反映測量儀器自身存在的所允許的固有誤差極限值。
 

　　提出固有誤差這一術語是相對于附加誤差而言的。附加誤差就是測量儀器在非標準條件下所增加的誤差。額定操作條件、極限條件等都屬于非標準條件。非標準（即參考）條件下工作的測量儀器的誤差，必然會比參考條件下的固有誤差要大一些，這個增加的部分就是附加誤差。它主要是由于影響量超出參考條件規定的范圍，對測量儀器帶來影響的所增加的誤差，即屬于外界因素所造成的誤差。因此測量儀器使用時與檢定、校準時因環境條件不同而引起的誤差，就是附加誤差；測量儀器在靜態條件下檢定、校準，而在實際動態條件下使用，則也會帶來附加誤差。測量儀器的固有誤差又可簡稱為固有誤差。
 

　　5.〔測量儀器的〕偏移、抗偏移性
 

　　測量儀器的偏移是指“測量儀器示值的系統誤差”（7.25條）。人們在用測量儀器測量時，總希望得到真實的被測量值，但實際上多次測量同一個被測量時，得到的是不同的示值。由于測量儀器存在著誤差，而形成測量儀器示值的系統誤差分量，我們稱之為測量儀器的偏移，又簡稱偏移。造成測量儀器的偏移原因是很多的，如儀器設計原理上的缺點，標尺、度盤安裝不正確，使用時受到測量環境變化的影響，測量或安裝方法的不完善，測量人員的因素以及測量標準器的傳遞誤差等。測量儀器示值的系統誤差，按其誤差出現的規律，可分為定值系統誤差和變值系統誤差。有的系統誤差分量是按線性變化、周期性變化或復雜規律變化的，為了確定測量儀器的偏移，通常用適當次數重復測量的示值誤差的平均值來估計，這樣可以排除測量儀器示值其隨機誤差的分量。由于存在著示值變值系統誤差，因此，在確定測量儀器偏移時，應考慮不同的測量點即示值的不同范圍。
 

　　測量儀器的偏移，直接影響著測量儀器的準確度，因為在大多數情況下，測量儀器的示值誤差主要決定于系統誤差，有時系統誤差比隨機誤差往往會大一個數量級，為什么測量儀器要定期進行檢定、校準，主要就是為了確定測量儀器示值誤差的大小，并給以修正值進行修正，這就控制了測量儀器的偏移，確保了測量儀器的準確度。
 

　　測量儀器的抗偏移性是指“測量儀器給出不含系統誤差的示值的能力”（7.26條）。測量儀器示值的系統誤差是客觀存在的，由于它直接影響著測量儀器的準確度，因此我們應盡力設法減小它，則測量儀器給出的示值不含系統誤差的能力我們稱之為測量儀器的抗偏移性，可簡稱抗偏移性。
 

　　不含系統誤差是做不到的，但可以去減小它。實際上在測量儀器設計時必須考慮這一點，同時在測量儀器使用時也應考慮如何提高其抗偏移性。如從結構上保證指示器活動部分的平衡，可任意位置安裝使用的儀器保證其內部零部件平衡配重，減少元器件隨外界溫度的影響等。有的儀器從測量方法上提高其抗偏移性，如千分尺、指示儀器的零位調整，要求儀器水平位置安放，甚至有的儀器帶有水準泡，要求正確地安放被測件，有的選擇適當的測量方法，使系統誤差相互抵消，如采用交換法、替代法、補償法、對稱法等。當然還有一項十分重要的方法，就是讓測量儀器定期開展檢定、校準，確定測量儀器示值系統誤差的大小，用修正值加以修正，這是提高抗偏移性的重要措施。
 

　　為了在測量前就將示值的系統誤差產生的根源予以消除或減小，使用測量儀器的人員應對測量儀器中可能產生系統誤差的環節進行仔細分析，并采取相應措施是十分重要的。
 

　　測量儀器的〕zui大允許誤差、引用誤差
 

　　1.測量儀器的zui大允許誤差
 

　　是指“對給定的測量儀器，規范、規程等所允許的誤差極限值”（7.21條）。這是指在規定的參考條件下，測量儀器在技術標準、計量檢定規程等技術規范上所規定的允許誤差的極限值。這里規定的是誤差極限值，所以實際上就是測量儀器各計量性能所要求的zui大允許誤差值。可簡稱為zui大允許誤差，也可稱為測量儀器的允許誤差限。zui大允許誤差可用誤差、相對誤差或引用誤差等來表述。
 

　　例如:測量范圍為0～25mm，分度值為0.01mm的千分尺其示值的zui大允許*級不得超過±2mm；1級不得超過±4mm。又如測量范圍為25℃～50℃的分度值為0.05℃的一等標準水銀溫度計，其示值的zui大允許誤差為±0.10℃。如準確度等級為1.0級的配熱電阻測溫用動圈式測量儀表，其測量范圍為0～500℃，則其示值的zui大允許誤差為500×1%=±5℃，則用引用誤差表述。如非連續累計自動衡器（料斗秤）在物料試驗中，對自動稱量誤差的評定則以累計載荷質量的百分比相對誤差進行計算，準確度為0.2級、0.5級的則檢定其自動稱量誤差不得超過累計載荷質量的±0.10%和±0.25%。zui大允許誤差是評定測量儀器是否合格的zui主要指標之一，當然它也直接反映了測量儀器的準確度。
 

　　要區別和理解測量儀器的示值誤差、測量儀器的zui大允許誤差和測量不確定度之間的關系。示值誤差和zui大允許誤差均是對測量儀器本身而言，zui大允許誤差是指技術規范（如標準、檢定規程）所規定的允許的誤差極限值，是判定是否合格的一個規定要求，而示值誤差是測量儀器某一示值其誤差的實際大小，是通過檢定、校準所得到的一個值，可以評價是否滿足zui大允許誤差的要求，從而判斷該測量儀器是否合格，或根據實際需要提供修正值，以提高測量儀器的準確度。測量不確定度是表征測量結果分散性的一個參數，它只能表述一個區間或一個范圍，說明被測量真值以一定概率落于其中，它對測量結果而言，以判定測量結果的可靠性。可見zui大允許誤差、示值誤差和測量不確定度它們具有不同的概念，前者相對測量儀器而言，后者相對測量結果而言，前者相對與真值（約定真值）之差，后者只是一個區間范圍，前者可以對測量儀器的示值進行修正，后者無法對測量儀器進行修正。個人認為，可見測量不確定度概念不能*代替測量儀器的誤差，因為它無法得到修正值，作為測量儀器的特性，規定zui大允許誤差和通過檢定、校準去確定示值誤差，在實用上具有十分現實的意義。
 

　　2.〔測量儀器的〕引用誤差
 

　　測量儀器的引用誤差可簡稱為引用誤差，它是指“測量儀器的誤差除以儀器的特定值”（7.28條）。通常很多測量儀器是用引用誤差來表示該測量儀器的允許誤差限。特定值一般稱為應用值，它可以是測量儀器的量程也可以是標稱范圍的上限或測量范圍等。測量儀器的引用誤差就是測量儀器的相對誤差與其應用值之比。
 

　　誤差的真值
 

　　實際上，真值是難于得到的，實際中，人們通常用兩種方法來近似確定真值，并稱之為約定真值。
 

　　一種方法是采用相應的高一級精度的計量器具所復現的被測量值來代表真值，
 

　　另一種方法是在相同條件下多次重復測量的算術平均值來代表真值。
 

　　另外在產品檢測中，某項被測量的設計指標，既標稱值視作已知真值，而測量值與標稱值之差，就是產品制作誤差（注意：這里的測量值與其算術平均值之差才是測量誤差）。
 

　　理論值作為真值，如三角形內角和為180°